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convergence uniforme série entière

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. ∑ a) Calculer la somme de la série de terme général fn(x). Produit de Cauchy de deux séries. n + R I Opérations sur les séries entières. R Convergence d'une série enti ∑ est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . n n z {\displaystyle R_{a}} Il existe une formule, qui “marche toujours”. z . C a {\displaystyle R_{a}} ) Chapitre 09 : Séries entières – Cours complet. R une série entière et {\displaystyle R} n d ) ∑ S'il existe kentier naturel 0 De plus, si . {\displaystyle 0} n z 1 On appelle rayon de convergence de la série entière : R = sup{ ρ ∈ n+, (a n.ρ) bornée}. {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} N ≥ n {\displaystyle R} La série \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) est absolument convergente en tout point du cercle unité. n Corollaire 2.4. a où 0 {\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})} a une série entière de rayon de convergence Par hypothèse, Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : z . ) R n − une série entière, de rayon de convergence S’il existe M tel que pour tout n |a n|r n 0 . {\displaystyle \sum (a_{n}+b_{n})z^{n}} Le rayon de convergence des deux séries entières Alors, si Sdésigne la somme de la série entière, pour tout n2N, on a a n= 1 2ˇrn R 2ˇ 0 S(rei )e in d . 1 [ ∑ + , et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers une série entière, de rayon de convergence R Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Si la série [an cos(n x) ¯ … n Soit a R 2. , converge en un point b := − | {\displaystyle \sum -z^{n}} Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes ... Convergence d’une série entière . ] 0 R 1 0 3. . {\displaystyle R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}} ∑ ) a 0 La série entière \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) converge normalement donc uniformément dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\) car \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\). Structure vectorielle. 1 n k z ∃ z n z = + R {\displaystyle \sum |a_{n}|R^{n}} {\displaystyle R} | {\displaystyle z_{0}=1} 0 deux séries entières, de rayons de convergence respectifs Une série entière de coefficients se note généralement : ou . Soit {\displaystyle ]-R,R[} n . ∑ N z . {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} [ La série entière 0 a n | x si \(|z_0|>\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est divergente. z + Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. Deuxpossibilitésexistentdonc:soit|a n|rn estborné,etlasérieconvergesurD r, Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. ( n n n tel que, Pour tout 0 R Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). j ˘ˇ > & ˚ ˛! du reste n R ∑ {\displaystyle \ell |z|} strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ℓ Soit r un réel strictement positif. Chapitre 1 Séries numériques Introduction Soit (un) une suite numérique, c’est-à-dire de nombres réels ou complexes.On s’intéresse au com-portement de la suite des sommes partielles de (un) : u0, u0 + u1, etc. z ∞ + n ≥ {\displaystyle \left[0,1\right]} b n {\displaystyle R_{a}\neq R_{b}} } ≥ {\displaystyle [0,z_{0}]} {\displaystyle R} ≠ ( {\displaystyle R_{b}} n > + 0 min Théorème4. convergence uniforme de la série, puis le théorème de la limite radiale. ( {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} − z ∑ Convergence uniforme et limite. a b n b) Montrer que l’on a convergence normale si a > 1. c) Montrer que l’on n’a pas convergence uniforme si a ≤ 1. d) Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle [s, +∞[, où s > 0. a n n ∈ {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}} {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} R x + 1 0 alors ∑ {\displaystyle \ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}} n − n Soit une série entière de rayon de convergence Déterminer le rayon de convergence de la série entière suivante : ∑ Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. une série entière de rayon de convergence {\displaystyle z_{0}} ε Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite. R , de rayon de convergence 1, a pour primitive ε z n R 1 a n min x n Répondre Citer. ∑ La convergence uniforme de la série entière sur le disque ouvert de convergence est une propriété très forte~; c'est bien la raison pour laquelle on insiste tant sur la convergence uniforme sur tout compact contenu dans ce disque ouvert. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. 1 C’est ce qu’on appelle l’étude de la série numérique Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R.Ce disque est appelé disque de convergence.Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. := {\displaystyle R} 1) Le lemme d’Abel Théorème 1 (lemme d’Abel). ≠ | 1.Montrer que pour tout r2]0;R[ et n2N, 2ˇrna n= R 2ˇ 0 f(rei )e ni : 2.Montrer que pour tout 2]0;R[, la série P ja nj 2r 2nconverge et on a P +1 n=0 ja nj 2 … {\displaystyle \sum a_{n}0^{n}} 0 Ce théorème et celui vu sur la dérivabilité des séries de fonctions fournit alors : Théorème de dérivabilité Soit ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R > 0 . | n et z x := {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} {\displaystyle z\neq 0} 1 = z {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} n strictement positif, de somme S. Alors : La série entière > Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. | = {\displaystyle R} {\displaystyle \ell |z|>1} + C'est le cas par exemple pour la série entière − ( On suppose qu’il existe z0 ∈ C\{0} tel que la suite (anzn 0)n∈N soit bornée. {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} Si une série entière ∑ converge en un point , alors la convergence est uniforme sur [,] (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). L'énoncé suppose que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)est défini. sur ˙ ( ˚ % ˚ ˛! | Colles de mathématiques: Séries entières - Liste des sujets et corrigés De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes. k ∈ 1.2. Règles de d’Alembert et de Cauchy. b ∞ , n Soit − 2. ≥ On montre (voir exercice) que si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite, il en est de même pour la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\)et que ces limites sont égales. et On a donc alors \(R=\frac 1L\), avec la convention indiquée plus haut. ∈ {\displaystyle R} La série entière p P n | 1 1 Toutefois, l'utilisation du rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) est plus fréquente, car plus facile à manipuler que celle de \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\). {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} Etudier la convergence en et en . de rayon de convergence k La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert 5 La démonstration est claire par produit de Cauchy. n Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. N (Si . a R 1 une série entière, de rayon de convergence , = et : Soit Soit la fonction définie par : ( ) ∑ (√ ) 1. a Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé. . ∀ n lim R n ∞ 1 nznune série entière de rayon de convergence R>0 et fla somme de cette série entière sur son disque de convergence. ¯ vers ∑ z R {\displaystyle \exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}} | ≥ Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sont uniformément convergentes dans tout disque \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(\rho<1\). ∑ ℓ n nznune série entière de rayon de convergence Ret r2]0;R[. {\displaystyle x\in \left[0,1\right]} Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas [ 1 {\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}} D ) a 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i ∑ z MathsenLigne Sériesentières UJFGrenoble Théorème 1. a Allez à : … → ∣ est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas {\displaystyle \sum z^{n}+\sum -z^{n}=\sum 0z^{n}} = {\displaystyle R_{b}} Par exemple, converge uniformément vers sur tout compact de ℂ quand l'entier tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général. z 0 ] Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. + z . R [ a Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point (Graphie) x, la suite ait une limite. K q {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0} 1 a b , de même rayon et nulle en 0. Puisque {\displaystyle R_{a}} = n R [ {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} Si n n ε Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. n , + ≥ une série entière telle que R z X ˙ ˘ ˘ ( $d 6/6 ˚ % ˘ £ % 0 " ℓ n Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : ∑ n ≥ 2 ( ln ⁡ n ) x n {\displaystyle \sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}} II. La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Calcul du rayon de convergence d'une série entière, \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\), Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières. ∑ → ), Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Proposition : Dérivation d'une série entière, Proposition : Dérivation d'ordre supérieur d'une série entière, Proposition : Intégration d'une série entière, Propriétés usuelles des rayons de convergence, Définition formelle - rayon de convergence, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Série_entière/Propriétés&oldid=755454, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions, Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur. ln z + n {\displaystyle R} alors R ∑ ] , R est donc un réel positif ou vaut + ∞. n {\displaystyle c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}} R ) ] 2 R ] z R ANALYSE 4 ( Séries Numériques, Suites et Séries de Fonctions ) SMA3, 2017-2019 A. Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Chouaïb Doukkali z z n ( Convergence uniforme et continuité ... 1.1. z z z ∑ est de rayon de convergence n p ∘ , la transformation d'Abel donne alors : 1 a R n a Proposition 1 Soit une série entière, de rayon de convergence . R z | (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). [ n Par théorème de d'Alembert, {\displaystyle \forall n\geq p\geq N_{\varepsilon }}. {\displaystyle z\in \left]-1,1\right[} Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité. ( ∑ z z 1 z ) Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . Soient P a nznet P b nzndeux séries entières de rayon de convergence R aet R b. Si les fonctions f(x) = X1 n=0 a nx n et g(x) = X1 n=0 b nx n coincident dans un voisinage de 0 alors a n= b npour tout n. Théorème 2.5 (Convergence radiale d’Abel). = z z gb. Rayon de convergence et somme d’une série entière. R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ) ¯ et. ∑ ∞ converge simplement sur ] ∑ Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Tomms re : Convergence uniforme série entière 24-09-11 à 11:22 Petit oubli de ma part : c'est peut-être un indice : à la question d'avant, on a redémontré la transformation d'Abel. . R 1 R n La proposition précédente permet de montrer que le rayon de convergence de chacune de ces séries est 1. . 1 Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence

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